最近，我向美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)院申請(qǐng)了一項(xiàng)獎(jiǎng)學(xué)金，該計(jì)劃致力于通過(guò)招募，培訓(xùn)和保留高素質(zhì)的中學(xué)數(shù)學(xué)老師來(lái)改善美國(guó)公立學(xué)校的數(shù)學(xué)教育。為了獲得團(tuán)契，我開(kāi)始擺弄一些使我感到好奇的數(shù)學(xué)思想。其中之一是分解多項(xiàng)式的想法，尤其是我們?nèi)绾沃v授它。

有一個(gè)原因，由于種種原因，我不是FOIL的粉絲。雖然我認(rèn)為使用縮寫(xiě)詞可以使學(xué)生想起某個(gè)程序很方便，但它僅在非常特殊的情況下有效。在這種情況下，F(xiàn)OIL僅適用于將一個(gè)二項(xiàng)式乘以另一個(gè)二項(xiàng)式。FOIL是否會(huì)引導(dǎo)學(xué)生去理解所有類(lèi)型多項(xiàng)式的乘法，或者理解為什么分布屬性即使在變量下也能起作用?我不確定。

我們確實(shí) 知道，還有其他方法可以處理 二項(xiàng)式乘法，但是我想重點(diǎn)介紹使用幾何乘法的方法，因?yàn)槲铱梢浴?/p>

使用面積的乘和分解

(x + 2)與(x + 3)的乘積可以表示為如下形式(參見(jiàn)圖1)：

這使以下操作看起來(lái)相當(dāng)簡(jiǎn)單：

(x + 2)(x + 3)

x 2 + 2 x + 3 x + 6

x 2 + 5 x + 6

使用面積法乘以二項(xiàng)式也使分解成為一項(xiàng)容易的任務(wù)。我們可以對(duì)這個(gè)形狀的正方形和矩形進(jìn)行可視化處理，同時(shí)思考自己：“哪個(gè)數(shù)字的總和為5(第二項(xiàng))，乘積為6(第三項(xiàng))?” 如果我們仔細(xì)看，學(xué)生還有另一種方法來(lái)理解為什么在乘以所示的二項(xiàng)式后我們得到我們所用的術(shù)語(yǔ)。這與三項(xiàng)式有何關(guān)系?讓我們來(lái)看看。

多維數(shù)據(jù)集的乘法和因式分解

讓我們來(lái)看最后一個(gè)示例，然后將其乘以(x + 4)。這樣(參見(jiàn)圖2)：

(x + 2)(x + 3)(x + 4)

(x2 + 5x + 6)(x + 4)

x3 + 9x2 + 26x + 24

或幾何形狀(請(qǐng)參見(jiàn)圖2)：這對(duì)于找到該圖的表面積和體積都具有驚人的含義。由于我們?cè)缦纫呀?jīng)找到了這個(gè)立方體的“面”(x 2 + 5 x + 6)，因此我們基本上是將該面乘以x 的長(zhǎng)度和4的長(zhǎng)度。這得出：

x(x 2 + 5 x + 6)+ 4(x 2 + 5 x + 6)

。。。

x 3 + 9 x 2 + 26 x + 24

分解立方體

一旦找到四項(xiàng)式，則立方體將提示我們找到創(chuàng)建四項(xiàng)式的長(zhǎng)度。一個(gè)人只需要找出哪三個(gè)數(shù)字得出的總和為9(第二項(xiàng))和乘積24(最后一項(xiàng))。這些數(shù)字分別是2、3和4，因此我們將得到(x + 2)(x + 3)(x + 4)。

這比使用三次公式好嗎?絕對(duì)是這樣，特別是對(duì)于我們的學(xué)生。

什么樣2 quadrinomial X 3 - 11 X 2 + 12 X + 9?我們可以嘗試確定該多項(xiàng)式的所有實(shí)根，或者可以查看第二項(xiàng)和最后一項(xiàng)。9乘積的最簡(jiǎn)單組合是將3、3和1相乘。第一項(xiàng)的系數(shù)2使-11棘手。如果不考慮第一個(gè)系數(shù)，我們就無(wú)法從一組數(shù)字中得到-11。

但是，正如我們?cè)谄渌嗑S數(shù)據(jù)集中看到的那樣(請(qǐng)參見(jiàn)圖3)：

我們將看到2 x項(xiàng) 將與不相關(guān)的任何長(zhǎng)度相乘。因此，(2 x -3)+(2 x -3)將給我們6 x + 6 x或12 x。由于我們需要得到-11 x，這意味著剩余的1 x是正數(shù)，而12 x實(shí)際上是-12 x。

因此，我們的四項(xiàng)式被分解為(x -3)(x -3)(2 x +1)或(x -3)2(2 x +1)。

注意的話

在其他情況下( 例如x 3 + 27)，我仍在探索這一點(diǎn)，以及使用此模型時(shí)虛數(shù)將是什么樣子。這些方法可以很好地吸引學(xué)生，但是某些特殊情況可能會(huì)需要比我在這里借用的空間更多的空間。

同樣，這是我對(duì)立方公式的反叛 ，正如許多數(shù)學(xué)家所知道的那樣，將立方公式引入課堂幾乎沒(méi)有任何意義。