發(fā)表在SIAM Journal on Applied Mathematics 上的研究描述了一種新的數(shù)學(xué)模型，用于研究跨社交網(wǎng)絡(luò)的影響。使用拓撲領(lǐng)域的工具，Robert Ghrist 和博士。研究生 Jakob Hansen 開發(fā)了一個框架來跟蹤意見如何在各種場景中隨時間變化，包括個人可以使用欺騙行為和宣傳代理可以推動群體達成共識的場景。

隨著社交媒體平臺的興起，人們越來越有興趣開發(fā)不同類型的模型來研究網(wǎng)絡(luò)行為;在數(shù)學(xué)中，這意味著研究網(wǎng)絡(luò)、個體群體(稱為節(jié)點)以及它們之間的聯(lián)系(稱為邊)。Ghrist 說，當前的挑戰(zhàn)是開發(fā)數(shù)學(xué)框架，該框架可以包含更廣泛的功能，以幫助對更真實的場景類型進行建模。

“有很多人推出了具有一兩個新穎特征的模型;一種允許多種觀點，另一種允許人們有選擇地向鄰居撒謊，另一種則引入宣傳員，”他說。“我們想要做的是提出一個框架，該框架可以包含所有這些不同方面，但仍然能夠證明關(guān)于模型行為的嚴格定理。”

為此，Ghrist 和 Hansen 使用了以前在他們的小組中使用過的稱為滑輪的拓撲工具。Sheaves 是代數(shù)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)或向量空間的集合，它們連接到網(wǎng)絡(luò)并將信息鏈接到單個節(jié)點或邊。以交通網(wǎng)絡(luò)為例，其中火車站是節(jié)點，軌道是邊，滑輪用于攜帶有關(guān)網(wǎng)絡(luò)的信息，例如乘客計數(shù)或準點發(fā)車次數(shù)，不僅針對特定車站，而且還有車站之間的連接。

“這些向量空間可以具有不同的特征和維度，它們可以編碼不同數(shù)量和類型的信息，”Ghrist 說。“所以滑輪由每個節(jié)點頂部的向量集合和每條邊以及將它們連接在一起的矩陣組成?？偟膩碚f，這是一個漂浮在網(wǎng)絡(luò)頂部的大數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。”

使這項工作成為可能的核心數(shù)學(xué)概念之一是將拉普拉斯算子和擴散動力學(xué)納入模型。拉普拉斯算子被用于意見動態(tài)的經(jīng)典研究中，該研究發(fā)現(xiàn)，對于對特定主題(例如他們對的意見從 1 到 10)具有不同意見的個人，與網(wǎng)絡(luò)中的鄰居互動會將他們的意見轉(zhuǎn)向當?shù)仄骄怠?/p>

“如果這是一個準確的模型，那將意味著我們在社交媒體上相互交談的次數(shù)越多，我們就越相信同一件事，”Ghrist 說。“結(jié)果不太好，并導(dǎo)致我們解決了解釋分裂或極化的問題。因此，我們在論文中所做的是構(gòu)建這個新框架，以適應(yīng)經(jīng)典情況的各種有趣的扭曲。”

通過將拉普拉斯算子納入他們的“話語剃須”，研究人員能夠創(chuàng)建一個意見動態(tài)模型，該模型非常靈活，并且能夠合并各種場景、參數(shù)和特征。這包括讓座席可以在特定主題上撒謊，或者根據(jù)他們的聯(lián)系方式向他人講述不同的意見，所有這些都在嚴格且可測試的數(shù)學(xué)框架內(nèi)。

“這里的關(guān)鍵數(shù)學(xué)創(chuàng)新是滑輪的拉普拉斯算子，它允許系統(tǒng)以這樣一種方式進化，您可以證明公眾共識的結(jié)果。當我們運行某些示例時，我們看到的是，您可以擁有人們開始成為鄰居的系統(tǒng)并且非常有分歧，系統(tǒng)自然而然地朝著公共協(xié)議發(fā)展，而人們可以保留他們的私人意見，”格里斯特說。

Ghrist 說，另一個有趣的發(fā)現(xiàn)是，如何使用“共同源性”來表征該模型何時既可觀察又可控制，這意味著人們可以通過將特定代理指定為輸入來使社交網(wǎng)絡(luò)演變?yōu)樘囟ㄒ庖?，那些廣播宣傳，而其他人作為輸出，觀察到跟蹤意見變化的那些。Ghrist 說：“在某些情況下，您可以指定一組目標個人并通過在網(wǎng)絡(luò)中進行宣傳并讓系統(tǒng)發(fā)展來控制他們的意見，”Ghrist 補充說，雖然調(diào)查結(jié)果令人擔憂，但使用這些方法之間存在差距模型來研究網(wǎng)絡(luò)與控制思想如何在現(xiàn)實世界中傳播。

Ghrist 和他的團隊的下一步是找到處理更復(fù)雜滑輪的方法，例如使用邏輯語句而不是數(shù)值的滑輪。“與此相關(guān)的數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)是巨大的，我和我的團隊一直在努力提升所有數(shù)學(xué)知識以合并這些更復(fù)雜的數(shù)據(jù)類型，”他說。

Ghrist 還希望來自經(jīng)濟學(xué)和神經(jīng)科學(xué)等各個其他領(lǐng)域的研究人員會發(fā)現(xiàn)這些工具因其適應(yīng)性和靈活性而有用。“Sheaf 理論是在 1950 年代發(fā)展起來的，但它是這些東西之一，從未跨入應(yīng)用數(shù)學(xué)，部分原因是它非常抽象，”他說。“我已經(jīng)工作了大約 15 年，將層和層理論中的想法應(yīng)用到人們可以在數(shù)學(xué)之外使用的環(huán)境中，我希望這篇論文真的朝著這個方向推動了事情。”