最近，我向美國數學學院申請了一項獎學金，該計劃致力于通過招募，培訓和保留高素質的中學數學老師來改善美國公立學校的數學教育。為了獲得團契，我開始擺弄一些使我感到好奇的數學思想。其中之一是分解多項式的想法，尤其是我們如何講授它。

有一個原因，由于種種原因，我不是FOIL的粉絲。雖然我認為使用縮寫詞可以使學生想起某個程序很方便，但它僅在非常特殊的情況下有效。在這種情況下，F(xiàn)OIL僅適用于將一個二項式乘以另一個二項式。FOIL是否會引導學生去理解所有類型多項式的乘法，或者理解為什么分布屬性即使在變量下也能起作用?我不確定。

我們確實 知道，還有其他方法可以處理 二項式乘法，但是我想重點介紹使用幾何乘法的方法，因為我可以。

使用面積的乘和分解

(x + 2)與(x + 3)的乘積可以表示為如下形式(參見圖1)：

這使以下操作看起來相當簡單：

(x + 2)(x + 3)

x 2 + 2 x + 3 x + 6

x 2 + 5 x + 6

使用面積法乘以二項式也使分解成為一項容易的任務。我們可以對這個形狀的正方形和矩形進行可視化處理，同時思考自己：“哪個數字的總和為5(第二項)，乘積為6(第三項)?” 如果我們仔細看，學生還有另一種方法來理解為什么在乘以所示的二項式后我們得到我們所用的術語。這與三項式有何關系?讓我們來看看。

多維數據集的乘法和因式分解

讓我們來看最后一個示例，然后將其乘以(x + 4)。這樣(參見圖2)：

(x + 2)(x + 3)(x + 4)

(x2 + 5x + 6)(x + 4)

x3 + 9x2 + 26x + 24

或幾何形狀(請參見圖2)：這對于找到該圖的表面積和體積都具有驚人的含義。由于我們早先已經找到了這個立方體的“面”(x 2 + 5 x + 6)，因此我們基本上是將該面乘以x 的長度和4的長度。這得出：

x(x 2 + 5 x + 6)+ 4(x 2 + 5 x + 6)

。。。

x 3 + 9 x 2 + 26 x + 24

分解立方體

一旦找到四項式，則立方體將提示我們找到創(chuàng)建四項式的長度。一個人只需要找出哪三個數字得出的總和為9(第二項)和乘積24(最后一項)。這些數字分別是2、3和4，因此我們將得到(x + 2)(x + 3)(x + 4)。

這比使用三次公式好嗎?絕對是這樣，特別是對于我們的學生。

什么樣2 quadrinomial X 3 - 11 X 2 + 12 X + 9?我們可以嘗試確定該多項式的所有實根，或者可以查看第二項和最后一項。9乘積的最簡單組合是將3、3和1相乘。第一項的系數2使-11棘手。如果不考慮第一個系數，我們就無法從一組數字中得到-11。

但是，正如我們在其他多維數據集中看到的那樣(請參見圖3)：

我們將看到2 x項 將與不相關的任何長度相乘。因此，(2 x -3)+(2 x -3)將給我們6 x + 6 x或12 x。由于我們需要得到-11 x，這意味著剩余的1 x是正數，而12 x實際上是-12 x。

因此，我們的四項式被分解為(x -3)(x -3)(2 x +1)或(x -3)2(2 x +1)。

注意的話

在其他情況下( 例如x 3 + 27)，我仍在探索這一點，以及使用此模型時虛數將是什么樣子。這些方法可以很好地吸引學生，但是某些特殊情況可能會需要比我在這里借用的空間更多的空間。

同樣，這是我對立方公式的反叛 ，正如許多數學家所知道的那樣，將立方公式引入課堂幾乎沒有任何意義。