我們都在某種程度上低估了學生：當他們努力掌握許多概念時，很難相信一些學生。然而，我通過經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)，如果老師足夠勇敢為他們設(shè)置，那么學生可以達到很高的標準。

我在一所小型的，個性化的私立學校任教，這種學校提供了一些擺脫快速跟蹤狂熱的機會，數(shù)學文化允許自由的節(jié)奏和課程。沒有人必須指明他們對學生的期望 - 而是我自己想出來并且有能力在我看來合適時挑戰(zhàn)他們。但我知道許多讀者發(fā)現(xiàn)自己處于更有限的教學環(huán)境中。

給予中學生高中數(shù)學

我為初中課程創(chuàng)建的一門課程是初級代數(shù)課程。該班級包括八年級學生和兩名七年級學生，甚至六年級學生。它涵蓋了典型學生在高中時所看到的大部分內(nèi)容：解決理性表達; 重視正方形; 繪制線性函數(shù)，復函數(shù)和多項式; 組合數(shù)學; 幾何證明; 和多步方程，在課程中列出幾點。

我沒有告訴學生這些材料是高中水平。我發(fā)現(xiàn)的是，他們自然地相互勾結(jié)了想法，并將他們之前在課程中學到的東西聯(lián)系起來，建立了一個對每個人都感到舒服的知識庫 - 這種參與至關(guān)重要。

很多時候，我提出了一個想法并提出了極其困難的問題，但沒有深入指導。相反，我預計學生自己或與合作伙伴一起工作的例子和問題將邀請他們將想法與他們自己心中有意義的事物聯(lián)系起來。

例如，關(guān)于指數(shù)屬性的一個中學課程涉及提供一個屬性，X A X B = X A + B，并且讓學生使用它來僅使用他們之前證明的那些有條理地推導出每個后續(xù)指數(shù)屬性。在一個這樣的情況下，六年級學生注意到，根據(jù)逆定義(六年級學生!)，執(zhí)行X A / X B與乘以X A X -B相同。然后，她問我們是否可以使用指數(shù)的第一個屬性來增加正A功率和負B功率。

起初，我很驚訝在如此短的時間內(nèi)將物業(yè)相互聯(lián)系的速度很快(這只是一個小時的課程)。然后我意識到我從來沒有把這些材料稱為學生期望達到的范圍之外，所以對他們來說這些概念正是典型的中學生應該看到的 - 他們不知道這是高中材料，他們不太容易輕易放棄。我一直想知道我是否過早地教授這些材料，但學生們接受了挑戰(zhàn)。

另一個例子：我的學生大部分理性表達的工作歸結(jié)為學生可以簡化它們的程度，表現(xiàn)出對這個過程越來越熟悉，以便在未來的道路上這是第二天性，可以在不延遲的情況下教授更先進的材料。 “小事” - 事實上，整整一周都致力于實踐這個想法。

以(X-1)/ X為基本示例。我提出的問題是，這是否仍然可以進一步簡化。起初，一個共同的(和不正確的)響應是變量可以取消，留下-1。我的回答只是要求這個假設(shè)成功的例子(不接受或否認他們以前的結(jié)果)。學生們已經(jīng)知道一些例子不足以證明一個猜想，只有一個例子不起作用的情況應該足以反駁(我們接近討論反例的概念)。

突然間，七年級學生意識到減法和除法不是相反的操作，所以他們不能像解決方程時那樣取消。這是一個奇妙的啟示，每個人都同意。

鼓勵堅持不懈

這些經(jīng)驗不是關(guān)于高年級水平的解決方案，而是更多關(guān)于探索推理的概念，約翰霍爾特經(jīng)常在他的作品中強調(diào)，特別是他的書“兒童如何失敗”，我不能為各級數(shù)學教師提供足夠的建議。經(jīng)驗。

我想起了一位教育家曾經(jīng)告訴過我的故事。一位老師用兩個學習同一材料的課程進行了實驗。在一個方面，她贊揚學生的職業(yè)道德導致成功。另一方面，她重視聰明。在單元結(jié)束時，被告知努力工作以成功的孩子不太可能放棄，他們從課堂上獲得了更多。